O autovalor é uma grandeza escalar e o autovetor é uma grandeza vetorial.
Autovalores e autovetores são entidades matemáticas associadas a uma matriz quadrada.
Para existirem autovalores e autovetores da matriz A deve existir o valor λ e o vetor x, não zeros, tal que:
Ax = λx
Ou seja, se a matriz A multiplicada pelo vetor x é igual ao mesmo vetor x multiplicado pelo valor λ, então λ é autovalor de A e x é autovetor de A.
Diz-se (são formas equivalentes):
- x é autovetor da matriz A correspondente ao autovalor λ; ou
- x é autovetor correspondente ao autovalor λ da matriz A; ou
- λ é autovalor da matriz A correspondente ao autovetor x; ou
- λ é autovalor correspondente ao autovetor x da matriz A.
Simples porém, quase incompreensível, dada a dificuldade de visualizar aplicação.
Por ora vamos focar em entender o contexto e algumas interpretações.
De um lado da igualdade temos λx.
Sendo ambos diferentes de zero, podemos visualizar que o resultado dessa multiplicação de um vetor por um escalar resulta em outro vetor com mesma direção, variando o sentido, se λ for negativo, e o módulo, de acordo com o módulo de λ.
Utilizando um exemplo para ajudar:
Escalar λ = -2
Vetor u = [3, 4]
O sinal de λ é negativo.
Esperamos que o sentido do vetor resultante seja o inverso do vetor u.
módulo de λ = |λ| = 2
Esperamos que o módulo do vetor resultante seja o dobro do vetor u.
módulo de u = |u| = raiz quadrada da soma dos quadrados de 3 e 4 = 5
λu = v = [-6, -8]
módulo de v = |v| = raiz quadrada da soma dos quadrados de -6 e -8 = 10
Graficamente:
Visualmente é fácil perceber que a direção se manteve, o sentido foi invertido e o módulo aumentou.
Do outro lado da igualdade temos Ax.
Sendo essa matriz A a representação de uma transformação linear, essa transformação terá que ter sobre o vetor x o mesmo efeito da multiplicação por um escalar, que é manter a direção do vetor x, podendo apenas ter efeito na direção e no módulo.
Descobrir autovetores e auto valores de exemplos bem simples não é difícil.
Imaginando uma transformação linear com o objetivo de dobrar os valores de um vetor:
sendo os vetores u=[ux, uy] e v=[vx, vy]
vx = 2 ux
vy = 2 uy
De outra forma:
2ux + 0uy = vx
0ux + 2uy = vy
Agora utilizando matrizes:
\[\begin{bmatrix}2 & 0 \\0 & 2 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ux \\uy\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}vx \\vy\end{bmatrix} \]
ou:
\[\begin{bmatrix}2 & 0 \\0 & 2 \\\end{bmatrix}u=v \]
Sendo:
\[A=\begin{bmatrix}2 & 0 \\0 & 2 \\\end{bmatrix} \]
e o v específico, na busca de autovalores e autovetores, sendo: λu
então voltamos à primeira igualdade vista neste post:
\[ Au = λu \]
E agora visualizando os valores de uma matriz quadrada de exemplo:
\[ \begin{bmatrix}2 & 0 \\0 & 2 \\\end{bmatrix}u=λu \]
Lembrando que o objetivo da transformação linear criada no exemplo era "dobrar os valores de um vetor", se pegarmos um vetor exemplo bem simples, digamos u=[1,0], então Au=[2,0].
e, justamente, [2,0]=2u
Assim Au=2u
Por definição podemos dizer: u [1,0] é autovetor da matriz A correspondente ao autovalor 2.
Acabamos de encontrar, instintivamente, o nosso primeiro autovetor e seu correspondente autovalor de uma matriz exemplo!
Seguindo o instinto: outro autovetor da matriz seria w [0,1], correspondente ao autovalor, também, 2.
Agora abordando de forma muito simplifica, algumas coisas sobre esses dois autoverores encontrados:
- Como eu não consigo encontrar um escalar a que resolva a equação u = aw , então pode-se dizer que u e w são linearmente independentes.
- Se tenho 2 vetores do R² e eles são linearmente independentes, eu consigo encontrar todo possível vetor v com uma combinação linear de u e w. Ou seja: v = au + bw (onde a e b são escalares).
- Entendendo que a transformação A tem o R² como contradomínio, o resultado de uma transformação aplicada ao vetor v pode ser escrita assim: Av = au + bw
- Intuitivamente vemos aí um significado para os autovetores de uma matriz.
De repente, sobre o "quase incompreensível" fez-se a luz: Autovetores de uma matriz, que representa uma transformação linear, geram espaço do contradomínio da transformação.
Com isso, termino este primeiro post sobre autovalores e autovetores.
Feliz por ter aprendido algo?
Espera aí! Vai com calma! Quem disse que eu sei que estou certo?
Menos incertezas nos próximos capítulos.
Referências:
- Para fazer o pequeno gráfico apresentado neste post utilizei o GeoGebra.
- Para renderizar as fórmulas utilizei o MathJax.
- Para montar as fórmulas na linguagem que o MathJax entende utilizei o Equation Editor do CodeCogs.
- Para fazer meu blog (no Blogger) aceitar fórmulas no meus posts utilizei as dicas do Vishwesh Rai divulgadas neste post do Quora.
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