No Brasil, ao nos referirmos à uma data falamos, por exemplo, "14 de março de 2024". Ou, numericamente, "14/03/2024".
Porém, os britânicos (sei lá por que motivo ☺) ao se referirem à uma data, trocam a posição do dia com a do mês, falando "March 14, 2024". Ou, numericamente, "3-14-2024".
Com isso, o dia do ano "14 de março" é escrito por eles como "3-14".
De todos os dias do ano, trocando ou não a ordem do dia e mês, "3-14" é a representação numérica que mais lembra o valor do número Pi (π).
π = 3,1415926535...
Por isso o "3-14", o nosso "14 de março", foi o dia escolhido como o Dia do Pi.
Mas... Por que esse número merece um dia só para ele?
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Vou lembrar (aos mais distraídos nas aulas de matemática ☺) o que é Pi (π).
E também vou citar alguns marcos históricos na busca do cálculo do Pi (π).
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Lembrando do ensino fundamental, o número π é uma constante matemática que representa a relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro.
Apesar dessa ser a primeira constante matemática irracional que aprendemos na escola, o π é uma das constantes mais usadas em toda a matemática.
Por esse motivo comemora-se o Dia do Pi, principalmente, com o intuito cultural e educacional.
É uma oportunidade para celebrar, não apenas a importância do π na matemática, mas a importância da própria matemática para todas as áreas do conhecimento.
Muitas escolas, universidades e entusiastas da matemática ao redor do mundo celebram esse dia com atividades educacionais, competições, jogos e outras formas de engajamento com a matemática.
Pi (π) é um número tão importante que é estudado há pelo menos 6 mil anos.
Mas o que é Pi?
Vamos com calma.
Este diagrama mostra 3 elementos de um círculo, cujas dimensões estão envolvidas na definição do número Pi (π):
- O "raio" de um círculo é o comprimento da reta que vai
- de um ponto na linha que delimita o círculo
- até o centro do círculo.
- O "diâmetro" de um círculo é o comprimento da reta que vai
- de um ponto na linha que delimita o círculo
- até outro ponto na linha que delimita o círculo,
- passando pelo centro do círculo.
- A "circunferência" é o comprimento
- da linha que delimita o círculo.
Pela definição, percebemos que o diâmetro de um círculo é sempre o dobro do raio do círculo.
Utilizando matemática para dizer o mesmo:
diâmetro = 2 × raio
Passando a utilizar letras para me referir à essas dimensões:
d = diâmetro
c = circunferência
Repetindo a fórmula acima:
d = 2 × r
Dizemos que 2 é a razão entre o comprimento do diâmetro e do raio.
Ou seja, qualquer que seja o tamanho do círculo, se dividirmos o diâmetro pelo raio, o resultado será 2.
d / r = 2
Até aí, todo mundo tranquilão na matemática desde a antiguidade!
Até que, há muito tempo, alguém perguntou:
- E qual é a razão entre a circunferência e o diâmetro?
c / d = ?
Observação: Apesar dessa razão ser estudada há muitos milênios, só em 1.706 DC, William Jones, começou a utilizar o símbolo π (letra grega pi) para representá-la. E a partir de então, todos adotaram esse padrão.
Então... É desse Pi (π) que estamos falando!
c / d = π
Dizemos que π é a razão entre o comprimento da circunferência e do diâmetro.
Ou seja, qualquer que seja o tamanho do círculo, se dividirmos a circunferência pelo diâmetro, o resultado será π.
Assim, se você sabe o diâmetro de um círculo, você pode calcular a circunferência deste:
c = π × d
Lembrando que o diâmetro é o dobro do raio:
c = π × 2 × r
Rearrumando os termos dessa fórmula e escondendo os símbolos de multiplicação, nossa memória se ativa e voltamos ao ensino fundamental, onde decorávamos:
O comprimento da circunferência é "dois pi erre"!c = 2πr
Quando aprendemos esse fórmula, aprendemos também aproximações do valor de π.
Quando, ainda crianças, vemos isso pela primeira vez, pode ser que o professor fale que o valor desse π é mais ou menos 3.
Quando vamos crescendo e revendo o π, ainda no ensido fundamental, passamos a aprender que é 3,14.
Lá para o ensino médio já nos dizem que é 3,14159...
E qual é o limite de casas decimais que podemos aprender para ter um Pi mais preciso nas nossas contas?
Não há limite. É infinito. E não pode ser representado por uma divisão de números inteiros. Ou seja, não é racional. Diz-se, é um número irracional.
Além disso, lá para 1882, o matemático Lindeman provou que π era transcendental, que significa, simplificando, que não podem ser calculados por meio de operações aritméticas básicas ou de construções geométricas simples.
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Um pouco de história
Essa evolução de conhecimento de dígitos, que ocorre durante nossa vida acadêmica juvenil, também ocorreu na história.
Só que não tinha nenhum professor para dizer os dígitos.
Durante a história houve muitas pessoas, pensadores, filósofos, matemáticos, cientistas, entre outros, que se esforçavam muito para resolver esse problema do cálculo do π, apresentando valores cada vez mais precisos.
4.000 AC
Por volta de 4.000 AC as estimativas eram simples, tão simples quanto nosso primeiro contato com o π. O π era estimado em 3.
Lembrando: Vou utilizar π falando a história, mas durante grande parte da história não era utilizada essa nomenclatura. Enquanto eu falo π, eles falavam "razão entre a circunferência e diâmetro do círculo"
Se você fizer uma tentativa simples de estimar isso em casa, poderá chegar à mesma estimativa da antiguidade.
- Peque um barbante.
- Estique sobre um prato, passando pelo meio.
- Corte o barbante na duas bordas do prato.
- Pronto, você tem uma representação do diâmetro do seu prato.
- Agora, com esse primeiro barbante como medida, corte mais dois pedaços de barbante do mesmo tamanho.
- Então, a partir de um ponto qualquer na borda do prato, vai esticando um barbante de cada vez, dando a volta no prato, até chegar no mesmo ponto.
- Dependendo da precisão nas medidas, nos cortes e nos posicionamentos dos barbantes, os 3 barbantes servirão certinho para dar a volta completa no prato, ou faltará um pouquinho, ou até, sobrará um pouquinho.
Não há documentação dizendo que foi algo parecido com isso qu fizeram há 6.000 anos atrás, mas eu chutaria que não foi nada muito mais complicado do que isso.
Repetindo a experiência citada várias vezes, o resultado sempre fica perto de 3.
Imagino que desse forma resolvemos a assumir o π como 3. Valor com aproximadamente 4,5% de erro.
2.000 AC
Os babilônios, 2.000 AC, já tinham uma matemática bem avançada.
Eles já sabiam calcular o perímetro do hexágono regular inscrito no círculo.
O perímetro do hexágono é igual a 6 vezes seu lado (obviamente, pois são 6 lados).
perímetro do hexágono = 6 × |AB|
Porém, se lembrarmos que o hexágono pode ser formado por 6 triângulos equiláteros, com lados iguais, entendemos que o tamanho dos lados do hexágono coincide com o tamanho do raio do círculo onde o hexágono está inscrito.
perímetro do hexágono = 6 × |AO| = 6 × r = 3 × d
Assim:
perímetro do hexágono = 3d
Como é fácil de notar que o comprimento da reta entre os pontos A e B é menor que o comprimento do arco (trecho do círculo) entre os pontos A e B, conclui-se que o perímetro do hexágono é menor que a circunferência do círculo.
Lembrando que a circunferência do círculo é calculada assim:
c = πd
Ficou claro para os babilônios que π não era igual a 3, era maior que 3.
Porém, quanto maior?
Experimentos, cujos documentos foram perdidos, os levaram a acreditar que a razão entre o perímetro do hexágono inscrito e a circunferência do círculo era 24/25.
perímetro do hexágono / c = 24 / 25
Substituindo:
3d / πd = 24 / 25
Cortando os "d":
3 / π = 24 / 25
Daí:
π = 3 × 25 / 24
π = 3,125
O que é bem mais próximo do valor de π que sabemos hoje, do que a estimativa anterior.
O valor achado pelos babilônios tinha aproximadamente 0,53% de erro.
1.650 AC
Do antigo Egito, o papiro Rhind, de 1.650 AC., indica que os egípcios calculavam a área de um círculo por uma fórmula que utilizava um valor aproximado de π igual a 3,1605.
O valor achado pelos egípcios antigos tinha aproximadamente 0,6% de erro. Bem próximo da precisão dos babilônios.
500 AC
Na China, o matemático e astrônomo chinês Zu Chongzhi (501 AC a 429 AC) encontrou para π o valor de 355/113, que tem uma precisão incrível. Infelizmente, pouco se sabe sobre seu trabalho ou métodos.
π = 3,14159292
Que tem aproximadamente 0,0000085% de erro.
Nesse caso, e daqui em diante, fica mais fácil comparar a qualidade das aproximações de π contando as casa decimais corretas. Nesse caso, ele conseguiu 6 casas decimais corretas.
250 AC
Na Grécia, o matemático grego Arquimedes de Siracusa (287 a.C. a 212 a.C.), como os babilônios, utilizou polígono para aproximar o valor de π, porém, ao invés de utilizar apenas um polígono inscrito, utilizou também outro circunscrito. Assim aproximou o valor de π dos dois lados. Com esses cálculos ele aproximou pi entre "3 1/7" e "3 10/71". Ou seja:
3 1/7 < π < 3 10/71
3,142857143... < π < 3,14084507...
Tirando uma média entre esses 2 valores limites, chegamos ao seguinte valor aproximado de π:
π = 3,141851107...
Que é um valor com aproximadamente 0,008% de erro. Com 3 casas decimais corretas.
Uma vantagem do desenvolvimento trazido por Arquimedes é que seu método poderia ser replicado e expandido, dependendo apenas da disposição de quem quisesse calcular.
1.600 DC
Ludolph van Ceulen (1540 a 1610) investiu 30 anos de sua vida utilizando métodos conhecidos de cálculo do π e evoluindo-os, conseguindo chegar a um cálculo com 35 casas decimais. Em sua lápide está gravado o resultado de seu esforço:
3,14159265358979323846264338327950288
Que apresenta 10 casas decimais corretas.
1.700 DC
Isaac Newton (1643 a 1727) usou seu teorema binomial para calcular π com 16 casas decimais.
1.900 DC
No início do século 20, o matemático indiano Srinivasa Ramanujan desenvolveu maneiras excepcionalmente eficientes de calcular π, que mais tarde foram incorporadas em algoritmos de computador.
Século 21
Há poucos anos cientistas suíços, com auxílio de computadores, é claro, calcularam π com 62.831.853.071.796 casas decimais.
Isso mesmo! Mais de 62 trilhões de casas decimais.
Pi (π)
Para você brincar de decorar (ou não ☺), segue o número pi com 100 casas decimais:Links:
- A imagem mostrando raio, diâmetro e circunferência, foi tirada do site Brasil Escola, acessando esta página.
- Algumas informações históricas foram tiradas do site Matemática Simplificada, acessando esta página.
- A imagem mostrando um hexágono inscrito no círculo, foi tirada do site Mundo Educação, acessando esta página.
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